Cos'è trasformate di laplace?

Trasformata di Laplace

La trasformata di Laplace è un operatore integrale che trasforma una funzione f(t), definita per t ≥ 0, in una funzione F(s) di una variabile complessa s. Formalmente, la trasformata di Laplace è definita come:

F(s) = ∫₀^∞ f(t) e^(-st) dt

dove:

• f(t) è la funzione originale nel dominio del tempo (t).
• F(s) è la trasformata di Laplace di f(t) nel dominio della frequenza complessa (s).
• s = σ + jω è una variabile complessa, dove σ è la parte reale e ω è la parte immaginaria.
• L'integrale è un integrale improprio.

Campi di applicazione

La trasformata di Laplace è uno strumento potente utilizzato in diversi campi, tra cui:

• Ingegneria Elettrica: Analisi di circuiti, controllo di sistemi.
• Ingegneria Meccanica: Analisi di sistemi dinamici, vibrazioni.
• Fisica: Risoluzione di equazioni differenziali.
• Matematica: Risoluzione di equazioni integrali, calcolo operatoriale.
• Teoria dei controlli: Progettazione e analisi di sistemi di controllo.

Proprietà importanti

La trasformata di Laplace possiede diverse proprietà che la rendono utile per la risoluzione di problemi:

• Linearità: La trasformata di una combinazione lineare di funzioni è la combinazione lineare delle trasformate.
• Derivazione: La trasformata della derivata di una funzione è correlata alla trasformata della funzione originale. Vedere Derivazione nel dominio del tempo.
• Integrazione: La trasformata dell'integrale di una funzione è correlata alla trasformata della funzione originale. Vedere Integrazione nel dominio del tempo.
• Teorema del valore iniziale: Permette di calcolare il valore iniziale di una funzione dal limite della sua trasformata. Vedere Teorema del valore iniziale.
• Teorema del valore finale: Permette di calcolare il valore finale di una funzione dal limite della sua trasformata. Vedere Teorema del valore finale.
• Traslazione nel tempo: La trasformata di una funzione traslata nel tempo è correlata alla trasformata della funzione originale. Vedere Traslazione nel tempo.
• Traslazione nella frequenza: La trasformata di una funzione moltiplicata per un esponenziale è una traslazione della trasformata originale. Vedere Traslazione nella frequenza.
• Convoluzione: La trasformata della convoluzione di due funzioni è il prodotto delle loro trasformate. Vedere Convoluzione.

Trasformata di Laplace inversa

La trasformata di Laplace inversa è l'operazione inversa della trasformata di Laplace e permette di ritornare dalla funzione F(s) nel dominio della frequenza complessa alla funzione f(t) nel dominio del tempo. La trasformata inversa è definita dall'integrale di Bromwich:

f(t) = (1 / (2πj)) ∫_(c-j∞)^(c+j∞) F(s) e^(st) ds

Dove c è un numero reale tale che il percorso di integrazione si trovi nella regione di convergenza (ROC) di F(s). In pratica, la trasformata inversa si ottiene spesso utilizzando tabelle di trasformate note e manipolando l'espressione di F(s) per farla corrispondere a una forma tabulata. Un metodo comune è l'utilizzo della Decomposizione in fratti semplici.

Regione di convergenza (ROC)

La regione di convergenza (ROC) è l'insieme dei valori di s per cui l'integrale della trasformata di Laplace converge. La ROC è importante perché determina l'unicità della trasformata inversa. La ROC dipende dalla funzione f(t) e può essere un semipiano destro, sinistro o una striscia nel piano complesso.

Vantaggi dell'utilizzo della trasformata di Laplace

• Semplificazione delle equazioni differenziali: Trasforma equazioni differenziali in equazioni algebriche, che sono più facili da risolvere.
• Analisi di sistemi lineari e tempo-invarianti (LTI): Permette di analizzare la stabilità, la risposta in frequenza e altre caratteristiche dei sistemi LTI.
• Risoluzione di problemi con condizioni iniziali: Permette di incorporare le condizioni iniziali direttamente nella trasformata, semplificando la risoluzione.
• Gestione di segnali discontinui: Permette di gestire segnali come gradini, impulsi e altre discontinuità.